Témata

Zde je seznam témat, které nabízím studentům FJFI či jiným studentům s větším zájmem o matematiku. Tato témata jsou vhodná pro zpracování jako bakalářské nebo diplomové práce. Zaměření prací by bylo možné přizpůsobit preferencím studenta.

Popsaná témata jsou neaktualní. V případě zájmu o téma mě prosím kontaktujte.

1. Zobecněné zeta funkce [pdf]

Mezi tzv. zobecněné zeta funkce patři např. dnes dobře prozkoumaná Rayleighova funkce, viz [Kishore]. Slavná Riemannova zeta funkce je speciální případ Rayleighovy funkce. Tyto funkce splňují jisté konvoluční formule a rekurentní vzorce, což jsou identity, které umožnǔjí rekurzivní napočítání hodnot zeta funkcí. To je možné aplikovat při lokalizaci nul některých speciálních funkcí. V případě Rayleghovy zeta funkce jde o nuly Besselových funkcí.

Úkolem studenta by bylo nastudovat existující výsledky k zobecněným zeta funkcím, tyto výsledky zobecnit, případně nalézt analogické výsledky pro dosud nezkoumané zeta funkce. Dále by se student zabýval možnostmi aplikování svých výsledků v kvantové fyzice, viz např. [Elizalde etal].

2. Zobecněné třídy ortogonálních polynomů [pdf]

Teorie ortogonálních polynomů je dnes podrobně vypracována ([Chihara], [Akhiezer], [Ismail]) a nalezla mnoho aplikací v různých odvětví moderní matematiky. Podrobný seznam hypergeometrických ortogonálních polynomů a jejich kvantových analogií je obsažen v tzv. Askeyho schématu, kde lze nalézt většinu dnes známých ortgonálních polynomů spolu se svými základními charakteristikami.

Pro stručné seznámení s teorií k ortogonálním polynomům je možné použít text od profesora Šťovíčka.

Student, který zvolí toto téma, nastuduje nutnou teorii týkající se ortogonálních polynomů (matematická analýza, trochu teorie míry, trochu funkcionální analýza a speciální funkce). Po nastudování základů se student může pokusit zobecnit některou ze známých tříd ortogonálních polynomů. To lze udělat buď předepsáním generující rekurentní rovnice, nebo míry ortogonality. V druhém případě by student mohl začít analýzou zobecněných Lommelových polynomů, jejichž nosič míry ortogonality je shodný s množinou nul funkce, kterou lze zapsat pomocí Besselovy funkce prvního druhu a její derivace. U nově vzniklých ortogonálních polynomů se student pokusí vyšetřit jejich základní vlastnosti: relace ortogonality, generující funkce, asymptotické fomule, strukturní vzorce, vyjádření pomocí speciálních funkcí, aj. Taková zobecnění byla v minulém století několikrát provedena a je možné se inspirovat v publikovaných článcích.

3. Numerický výpočet nul některých speciálních funkcí [pdf]

Množina nul některých speciálních funkcí (např. funkce hypergeometrického typu nebo jejich q-analogie) je shodná s bodovým spektrem jistých nekonečných maticových operátorů. Za jistých předpokladů lze tyto nuly dobře aproximovat vlastními čísly konečného maticového operátoru, který vznikne oříznutím příslušné nekonečné matice. Zvětšujeme-li rozměr matice vzniklé oříznutím, zmenšuje se chyba aproximace. Má-li navíc studovaná matice vhodnou strukturu (je např. tridiagonální), jsou algoritmy pro výpočet vlastních čísel takové matice velmi rychlé. Na těchto skutečnostech lze postavit numerickou metodu pro výpočet nul některých speciálních funkcí.

Úkolem studenta bude prostudovat a implementovat výše popsanou metodu např. v programu Wolfram Mathematica, dále aplikovat metodu na konkrétní speciální funkce. V práci student může porovnat výkonost a přesnost této metody s jinými metodami používanými pro výpočet nul funkcí. V teroretické části by se student měl zabývat nalezením odhadu pro chybu aproximace. Zajímavou součástí práce by také mohlo být numerické ověření reálnosti nul některých speciálních funkcí, kde příslušný operátor není hermitovský. Teoretické výsledky v těchto případech totiž typicky nejsou k dispozici.

4. Limitní body spekter konečných Jacobiho matic [pdf]

Popis tématu v přiloženém pdf.

Dalo by se uvažovat i o dalších tématech, na nichž by student mohl pracovat. Jde např. o prostudování aplikace teorie regularizovaných determinantů v problému hledání měr ortogonality pro ortogonální polynomy z jistých tříd. Jiným tématem by bylo vyšetření spektrálních vlastností oboustranně nekonečných Jacobiho matic s důrazem na modely s explicitně řešitelným spektrem. Před zvolením některého z těchto témat je nutné věc napřed se mnou konzultovat.

Links

Zde jsou odkazy zejména na osobní stránky kolegů s podobným vědeckým zájmem. Studenti u nich obvykle také mohou najít vhodná témata pro jejich práce.