\chapter{Teoretická část}
\label{teorie}
\parindent= 30pt

V této části budou vysvětleny pojmy důležité pro pochopení postupů popsaných v~pozdějších částech práce. Veškeré teoretické poznatky jsou čerpány z \cite{FriedMeno01,hrdy01,jozw02,jozw03,jozwchoj01,JozwSlus01,slus01,pop01,stud01}. Postupně budou vysvětleny pojmy z~oblastí:
\begin{itemize}
\item Konečné automaty
\item Teorie rozkládů
\item Informační aparát
\end{itemize}

\section{Konečný automat}
\begin{definition}[Úplně zadaný FSM]
\label{def1} 
úplně zadaný automat M~je~algebraický systém definovaný jako $M = \{I, S, O, \delta, \lambda\}$, kde:
\begin{eqnarray*}
\textrm{I} &\textrm{ - } & \textrm{konečná množina vstupních symbolů}\\
\textrm{S} &\textrm{ - } & \textrm{konečná množina stavů}\\
\textrm{O} &\textrm{ - } & \textrm{konečná množina výstupních symbolů}\\
\delta &\textrm{ - } & \textrm{přechodová funkce}\\
\lambda &\textrm{ - } & \textrm{výstupní funkce}
\end{eqnarray*}
\end{definition}

\begin{definition}[Úplně zadaný FSM typu Moore]
\label{def2} 
úplně zadaný automat M~typu Moore je~automat, jehož přechodová a~výstupní funkce je definována jako:
\begin{eqnarray*}
\delta & \textrm{ : } & S \times I \rightarrow S\\
\lambda & \textrm{ : } & S \rightarrow O
\end{eqnarray*}
\end{definition}

\begin{definition}[Úplně zadaný FSM typu Mealy]
\label{def3} 
úplně zadaný automat M typu Mealy je~automat, jehož přechodová a~výstupní funkci je definována jako:
\begin{eqnarray*}
\delta & \textrm{ : } & S \times I \rightarrow S\\
\lambda & \textrm{ : } & S \times I \rightarrow O
\end{eqnarray*}
\end{definition}

Automaty typu Moore a~Mealy jsou nejpoužívanějšími typy automatů. Jediný rozdíl mezi nimi je~ve~způsobu výpočtu výstupní funkce - výstup automatu typu Moore je~závislý jen~na~vnitřním stavu ve~kterém se~nachází, zatímco výstup automatu typu Mealy je~závislý jak~na~aktuálním vnitřním stavu, tak~na~aktuálním vstupním symbolu. Pro každý automat typu Moore potom existuje ekvivalentní automat typu Mealy a obráceně. Automaty jsou zadávány buď pomocí přechodovému diagramu nebo tabulky přechodů (viz Příklad \ref{ex1})

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cc|c}
\hline 
ps & 0 & 1 & out \\
\hline
a & a & b & 0 \\
b & d & c & 0 \\
c & e & c & 0 \\
d & a & e & 0 \\
e & a & b & 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{FSM typu Moore}
\label{tab1}
\end{table}

\begin{example}
\label{ex1}
Příklad automatu typu Moore - Tab. \ref{tab1} a automatu typu Mealy - Tab. \ref{tab2} zadaných pomocí tabulkya splňující stejnou funkci. Sloupec označený ps označuje aktuální stav, sloupce 0 a 1 označují následující stav pokud je vstupní symbol 0/1 a sloupec out u automatu Moore, popř. $out_0$ a $out_1$ u automatu Mealy označují výstup, resp. výstup pokud je vstupním symbolem 0/1
\end{example}

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cc|cc}
\hline 
ps & 0 & 1 & $out_0$ & $out_1$\\
\hline
a & a & b & 0 & 0\\
b & d & c & 0 & 0\\
c & a & c & 1 & 0\\
d & a & a & 0 & 1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{FSM typu Mealy}
\label{tab2}
\end{table}

Z důvodu možnosti převodu obou typů automatu na druhý typ budu v dalším textu považovat všechny automaty za typ Mealy a při zadávání použiji následující formát tabulek viz Tab. \ref{tab3}, používaný ve formátu KISS 2. Sloupec \textit{in} značí vstupní symbol, \textit{ps} představuje aktuální stav, \textit{ns} následující stav pokud je na vstupu daná proměnná a \textit{out} představuje výstupní symbol za výse stanovených podmínek.

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cc|c}
\hline 
in & ps & ns & out\\
\hline
0 & a & a & 0 \\
1 & a & b & 0 \\
0 & b & d & 0 \\
1 & b & c & 0 \\
0 & c & a & 1 \\
1 & c & c & 0 \\
0 & d & a & 0 \\
1 & d & a & 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Příklad tabulky přechodů}
\label{tab3}
\end{table}

\begin{definition}[Neúplně zadaný FSM] 
\label{def4} 
neúplně zadaný automat M~je~algebraický systém definován stejně jako úplně zadaný automat jen s~tím rozdílem, že:
\begin{eqnarray*}
\lambda & \textrm{ : } & S \times I \rightarrow 2^O
\end{eqnarray*}
\end{definition}

\begin{definition}[Nedeterministický FSM] 
\label{nonDetFSMDef} 
Nedeterministický automat M~je~algebraický systém definován stejně jako úplně zadaný automat jen s~tím rozdílem, že:
\begin{eqnarray*}
\delta & \textrm{ : } & S \times I \rightarrow 2^S\\
\end{eqnarray*}
\end{definition}

Definice poukazují na fakt, že rozdíl mezi úplně a neúplně zadaným automatem, resp. nedeterministickým automatem je ve výběru následujícího stavu, resp. výstupního symbolu. Zatímco u úplně zadaného automatu je výběr stavu a výstupu jednoznačně určený, u neúplně zadaného nebo nedeterministického automatu může být vybrána množina následujících stavů nebo výstupních symbolů. V následujícím textu bude jako neůplný automat považován automat neúplný i nedeterministický a obráceně.

\begin{example}
\label{ex2}
V Tab. \ref{tab4} je příklad neúplně zadaného automatu. Nedeterminismus se zde projevuje ve stavu \emph{a} a \emph{b}, neúplnost automatu zase ve stavech \emph{a} a \emph{c}. V těchto není předem určeno, zda automat přejde do stavu \emph{b} nebo \emph{c}, resp. \emph{a} nebo \emph{c}. Stejně tak výstupní symboly stavů \emph{a} a \emph{c} nejsou jednoznačné.
\end{example}

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cc|c}
\hline 
in & ps & ns & out\\
\hline
0 & a & b,c & 00,11 \\
1 & a & a & 01 \\
0 & b & a,c & 11 \\
1 & b & b & 01 \\
0 & c & a & 10,01 \\
1 & c & b & 10,01,11 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Neúplně zadaný FSM}
\label{tab4}
\end{table}

\section{Teorie rozkladů}
Rozklady, potažmo pokrytí (nebude zde probíráno) a systémy množin, jsou základním prostředkem k popisu vztahů uvnitř FSM a pro pochopení principu dekompozice konečného automatu je nezbytné jim dostatečně porozumět.

\begin{definition}[Rozklad]
\label{partDef}
Rozklad $\pi_S$ na množině stavů S je definováno jako:
$$\pi_S = \Big\{B_i\mid B_i\subseteq S \  \wedge \  \bigcup_1{B_i = S \  \wedge \  i \ne j \Rightarrow B_i \cap B_j = 0} \Big\}$$
\end{definition}

Rozklad na množině stavů S je soubor podmnožin (bloků) $B_1,B_2,\ldots,B_n$ obsahující jednotlivé stavy tak, že každý stav je vždy jen v jedné podmnožině (dále jen bloku) a zároveň sloučením všech bloků musí vzniknout celá množina S.

\begin{example}
\label{ex3}
$\pi_S = \{\overline{12},\overline{3},\overline{45}\}$ je rozkladem definovaným nad množinou stavů $S = \{1,2,3,4,5\}$, $\pi_S = \{\overline{12},\overline{23},\overline{45}\}$ rozkaldem není.
\newline
\end{example}

\begin{definition}[Systém množin]
\label{def6}
Systém množin $\phi_S$ na množině stavů S je definováno jako:
$$\phi_S = \Big\{B_i\mid B_i\subseteq S \  \wedge \  \bigcup_1{B_i = S \  \wedge \  i \ne j \Rightarrow B_i \nsubseteq B_j} \Big\}$$
\end{definition}

Systém množin množině stavů S je soubor bloků $B_1,B_2,\ldots,B_n$ obsahující jednotlivé stavy tak, že každý stav je minimálně v jednom bloku, sloučením všech bloků musí vzniknout S a zároveň žádný blok nesmí být podmnožinou jiného bloku.

\begin{example}
\label{ex4}
$\phi_S = \{\overline{12},\overline{23},\overline{45}\}$ je systémem množin na množině stavů $S = \{1,2,3,4,5\}$, zatímco $\phi_S = \{\overline{1},\overline{12},\overline{23},\overline{45}\}$ není.
\newline
\end{example}

\begin{definition}[Součin rozkladů]
\label{def7}
Součin rozkladů $\pi_S^1$ a $\pi_S^2$ je definován jako:
$$\pi_S = \Big\{B_i\mid \exists B^1 \in \pi_S^1 \exists B^1 \in \pi_S^2 \ :\  B_i = B^1 \cap B^2 \quad \wedge \quad  i \ne j \Rightarrow B_i \cap B_j = 0 \Big\}$$
\end{definition}

Bloky rozkladu $\pi_S$ vzniklého součinem dvou rozkladů (platí i pro systémy množin) vzniknou průnikem všech možných kombinací dvou bloků takových, že jeden blok náleží do rozkladu $\pi_S^1$ a druhý do rozkladu $\pi_S^2$

\begin{example}
\label{ex5}
$\{\overline{12},\overline{345}\} \cdot \{\overline{15},\overline{2},\overline{34}\} = \{\overline{1},\overline{2},\overline{34},\overline{5}\}$
\newline
\end{example}

\begin{definition}[Relace $\leq$]
\label{def8}
Relace $\pi_S^1 \leq \pi_S^2$ je platná tehdy, pokud: 
$$\forall B^1 \in \pi^1 \exists B^2 \in \pi^2 : B^1 \subseteq B^2$$
\end{definition}

Rozklad (platí i o systémech množin) $\pi^1$ je menší nebo roven než $\pi^2$ pouze a jen tehdy, pokud každý z jeho bloků je roven nebo podmnožinou bloku z rozkladu $\pi^2$.

\begin{example}
\label{ex6}
pro $\{\overline{13},\overline{2},\overline{4},\overline{5}\}$ a $\{\overline{123},\overline{45}\}$ platí relace $\leq$, ale pro rozklady $\{\overline{13},\overline{4},\overline{25}\}$ a $\{\overline{123},\overline{45}\}$ již neplatí, protože blok $\overline{25}$ není podmnožinou žádného bloku z druhého rozkladu.
\newline
\end{example}

\begin{definition}[Systémový součet]
\label{def9}
Systém množin $\phi_S$, vzniklý součtem dvou systémů množin nad množinou symbolů \emph{S} vznikne spojením obou systémů množin a vypuštěním takových bloků, které již jsou podmnožinou jiného bloku.
\end{definition}

\begin{example}
\label{ex7}
$\{\overline{12},\overline{23},\overline{4},\overline{5}\} + \{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{45}\} = \{\overline{12},\overline{23},\overline{45}\}$ je systémový součet a $\{\overline{12},\overline{3},\overline{45}\} + \{\overline{12},\overline{34},\overline{5}\}$ \newline $ = \{\overline{12},\overline{345}\}$ je rozkladový součet
\newline
\end{example}

\begin{definition}[Nulový rozklad]
\label{zeroPartDef}
Nulový rozklad $\pi_S$ je takový rozklad, ve kterém je každý symbol z množiny S ve svém vlastním bloku.
\end{definition}

\begin{example}
\label{zeroPartEx}
Nulový rozklad - $\pi_S(0) = \{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}\}$
\newline
\end{example}

\begin{definition}[Jednotkový rozklad]
\label{onePartDef}
Jednotkový rozklad $\pi_S$ je takový rozklad, ve kterém jsou všechny symboly z množiny S v jediném bloku.
\end{definition}

\begin{example}
\label{onePartEx}
Jednotkový rozklad - $\pi_S(1) = \{\overline{12345}\}$
\newline
\end{example}

\begin{definition}[Indukovaný rozklad]
\label{indPartDef}
Indukovaný rozklad $\pi_{A \times B}^A$ je takový rozklad nad prvky množiny kartézského součinu množin A a B, který obsahuje všechny prvky tohoto součinu obsahující elementy jednoho bloku rozkladu A také v jednom bloku tohoto indukovaného rozkladu.
\end{definition}

\begin{example}
\label{indPartEx}
A = \{a,b,c,d\}, B = \{0,1\} a $\pi_A = \{\overline{a,b},\overline{c,d}\}$. Rozklad indukovaný na průniku těchto množin množinou \emph{A}: $\pi_{A \times B}^A = \{\overline{(a,0),(a,1),(b,0),(b,1)}, \overline{(c,0),(c,1),(d,0),(d,1)}\}$
\newline
\end{example}

\begin{definition}[Systém množin C($\phi$)]
\label{CDef}
Systém množin C($\phi$) lze definovat tak, že prvky $q_1, q_2, \ldots, q_n$ náleží do stejného bloku právě tehdy, pokud ve $\phi$ existují bloky takové, že každá dvojice prvků z bloku C($\phi$) se vyskytuje v alespoň jednom bloku společně.
\end{definition}

Systém množin C($\phi$) se dá také definovat jako \textit{nejmenší systém množin větší nebo rovný oběma sčítancům}.

\begin{example}
\label{CEx}
Pro systém množin $\phi = \{\overline{12},\overline{23},\overline{13},\overline{24},\overline{34}\}$ je C$(\phi) = \{\overline{123},\overline{234}\}$
\newline
\end{example}

\begin{definition}[Správný systém množin]
\label{rightSysDef}
Systém množin $\phi$ je správným, pokud platí C($\phi$) = $\phi$.
\newline
\end{definition}

\begin{definition}[Rozkladový pár]
\label{partPairDef}
Dvojice rozkladů P($\pi_S^1, \pi_S^2$) definovaných nad množinou stavů konečného automatu M je rozkladovým párem právě tehdy, pokud:
$$\forall D \in \pi_S^1 \exists B \in \pi_S^2 : \overline{\delta}(D) \subseteq B$$
\end{definition}

Z definice plyne, že dvojice rozkladů je rozkladovým párem P($\pi_S^1, \pi_S^2$) jen tehdy, pokud je pro každý blok $\pi_S^1$ možné spočítat množinu následujících stavů tak, že všechny tyto stavy jsou v jediném bloku rozkladu $\pi_S^2$. Totéž potom platí i o systémovém páru P($\phi_1, \phi_2$).

\begin{example}
\label{partPairEx}
Pro FSM specifikovaný v Tab. \ref{PaSVtab} je S = \{a,b,c,d\}. Máme rozklady $\pi_S^1$~=~\{ac,b,d\} a $\pi_S^2$~=~ \{ad,bd\}. Můžeme snadno ověřit, že každá množina následujících stavů $\pi_S^1$ je podmnožinou bloku nebo blokem rozkladu $\pi_S^2$, proto platí P($\pi_S^1, \pi_S^2$).
\newline
\end{example}

\begin{definition}[Substituční vlastnost]
\label{substFeatDef}
O rozkladu říkáme (platí i pro systémy množin), že má substituční vlastnost SV($\pi$) tehdy, pokud u něj platí: P($\pi_S^1, \pi_S^1$).
\end{definition}

\begin{example}
\label{substFeatEx}
Pro FSM specifikovaný v Tab. \ref{PaSVtab} je S = \{a,b,c,d\}. Máme rozklad $\pi$~=~\{ab,cd\}.
Snadno můžeme ověřit, že každá množina následujících stavů tohoto rozkladu je podmnožinou bloku nebo celým blokem téhož rozkladu. Proto platí SV($\pi$), nebo-li rozklad $\pi$ má substituční vlastnost.
\newline
\end{example}

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cc|c}
\hline 
in & ps & ns & out\\
\hline
0 & a & c & 1 \\
1 & a & a & 0 \\
0 & b & d & 0 \\
1 & b & b & 1 \\
0 & c & b & 1 \\
1 & c & d & 0 \\
0 & d & b & 1 \\
1 & d & c & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{FSM k příkladu rozkladového páru a substituční vlastnosti}
\label{PaSVtab}
\end{table}

\begin{definition}[Systém množin m($\phi$)]
\label{mDef}
Funkce $m(\phi)$ vypočítá systém množin následujích symbolů takový, že pokud jsou symboly v jednom bloku $\phi$, budou v jednom bloku i v nově vytvořeném systému množin $m(\phi)$. Pokud už v $m(\phi)$ existuje takový blok, který obsahuje podmnožinu symbolů nového bloku, popř. nový blok je podmnožina bloku jiného, je menší blok nahrazen větším. Pokud existují symboly, které nejsou v žádném bloku, budou všechny tyto symboly v samostatných blocích.
\end{definition}

\begin{definition}[Nalezení všech SV systémů množin]
\label{SVsearchDef}
Nechť $\phi_{i,j}$ je takový systém množin, že symboly \emph{i} a \emph{j} jsou v jednom bloku a všechny ostatní symboly v samostatných blocích. Pro výpočet SV systémů můžeme použí následující postup:
\begin{description}
\item $\tau_{i,j}^1 = \phi_{i,j} + m(\phi_{i,j})$
\item $\tau_{i,j}^k = \tau_{i,j}^{k-1} + m(\tau_{i,j}^{k-1})$
\item $\ldots$
\end{description}
Tento postup se opakuje, dokud se dva výsledky po sobě neopakují. Poté se ještě na výsledný systém množin aplikuje funkce C($\phi$). Takový systém množin má potom SV vlastnost. Celý postup se opakuje pro všechny kombinace \emph{i} a \emph{j}.
\end{definition}

\section{Informační aparát}

Informační aparát je nástroj popsaný Jó\'zwiakem. Vychází z teorie rozkladů zavedené Hartmanisem, který sice formálně popsal konečný automat jako algebraickou strukturu, popsatelnou pomocí rozkladů, neuvědomoval si však souvislosti mezi jednotlivými rozklady a přenosy mezi nimi.

Tento aparát představuje tzv. základní informaci, pomocí které lze popsat děje uvnitř i mimo jednotlivé automatů. Systém popisuje kde a jak informace vzniká a kde je požadována, popisuje podobnost mezi jednotlivými infomačními toky (rozklady) a nabízí možnost měřit a kvantifikovat tuto informaci. Právě z této teorie vychází koncept použitý v této bakalářské práci.

\begin{definition}[Základní informace]
\label{elemInfDef}
Základní informace reprezentuje schopnost rozpoznat určitý symbol \textit{$s_i$} od nějakého jiného symbolu \textit{$s_j$} $(s_i, s_j \in S \ \wedge \ s_i \neq s_j)$
\end{definition}

\begin{example}
\label{elemInfEx}
Mějme automat zadaný Tab. \ref{inftab}. Sloupec S označuje tzv. symbol - konkrétní řádek automatu. Budeme-li znát proměnnou $x_1$, můžeme rozeznat mezi symboly (0,2,4,5,6), pokud bude mít hodnotu 0 nebo symboly (1,3,4,5,6), pokud bude mít hodnotu 1. Můžeme tedy říci, že automat se nachází na řádku 0 nebo 1, 0 nebo 3, 1 nebo 2 a 2 nebo 3 (zapisujeme následovně: $0\vert 1, 0\vert 3,1\vert 2, 2\vert 3$), resp. při znalosti $x_1$ můžeme rozlišit mezi těmito symboly. Pokud toto přeneseme do teorie rozkladů a systémů množin, můžeme napsat: $\phi_{x1} = \{\overline{02456},\overline{13456}\}$.
\newline
\end{example}

\begin{definition}[Informační sada]
\label{infSetDef}
Informační sada je množina základních informací, kterou můžeme získat z příslušného rozkladu nebo systému množin.
\end{definition}

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|cc|c}
\hline 
S & $x_1x_2$ & ps & ns & out\\
\hline
0 & 0- & a & b & 0 \\
1 & 1- & a & c & 1 \\
2 & 00 & b & a & 0 \\
3 & 1- & b & c & 1 \\
4 & -1 & b & c & 1 \\
5 & -0 & c & b & 0 \\
6 & -1 & c & c & 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{FSM k příkladu informace a informační sady}
\label{inftab}
\end{table}

\begin{example}
\label{infSetEx}
Mějme opět automat zadaný Tab. \ref{inftab} a rozklad $\phi_{x1} = \{\overline{02456},\overline{13456}\}$. Z tohoto systému množin lze získat informační sadu $IS_{x1} = \{0\vert 1, 0\vert 3, 1\vert 2, 2\vert 3\}$.
\newline
\end{example}

Pomocí analýzy infomace a informačních sad je možné zjistit, jak se jaké vstupní hodnoty podílejí na přenosu informace ze vstupu na výstup, popř. jaká informace je vlastně potřeba a jakou je možno vypustit. Analýzou FSM použitého v příkladech \ref{elemInfEx} a \ref{infSetEx} snadno můžeme zjistit tyto systémy množin a informační sady:
\parindent= 20pt
\newline
\newline\indent
$\phi_{x1} = \{\overline{02456},\overline{13456}\}, IS_{x1} = \{0\vert 1, 0\vert 3, 1\vert 2, 2\vert 3\}$
\newline\indent
$\phi_{x2} = \{\overline{01235},\overline{01346}\}, IS_{x2} = \{2\vert 3, 2\vert 4, 2\vert 6, 4\vert 5, 5\vert 6\}$
\newline\indent
$\phi_{ps} = \{\overline{01},\overline{234},\overline{56}\}$, $\phi_{ns} = \{\overline{05},\overline{1346},\overline{2}\}, \phi_{out} = \{\overline{025},\overline{1346}\}$
\newline\indent
$IS_{ps} = \{0\vert 2, 0\vert 3, 0\vert 4, 0\vert 5, 0\vert 6, 1\vert 2, 1\vert 3, 1\vert 4, 1\vert 5, 1\vert 6 ,2\vert 5, 2\vert 6, 3\vert 5, 3\vert 6, 4\vert 5, 4\vert 6\}$
\newline\indent
$IS_{ns} = \{0\vert 1, 0\vert 2, 0\vert 3, 0\vert 4, 0\vert 6, 1\vert 2, 1\vert 5, 2\vert 3, 2\vert 4, 2\vert 5 ,2\vert 6, 3\vert 5, 4\vert 5, 5\vert 6\}$
\newline\indent
$IS_{out} = \{0\vert 1, 0\vert 3, 0\vert 4, 0\vert 6, 1\vert 2, 1\vert 5, 2\vert 3, 2\vert 4, 2\vert 6, 3\vert 5, 4\vert 5, 5\vert 6\}$
\newline\indent
\parindent= 30pt

\noindent
Tyto informace můžeme dále rozdělit na vstupní a výstupní, tedy tu informaci, která do systému vstupuje pomocí vstupních proměnných a tu informaci, kterou je třeba k výpočtu výstupních proměnných. Vstupní tedy budou $\phi_{x1}, \phi_{x2}$ a $\phi_{ps}$ a výstupní $\phi_{ns}$ a $\phi_{out}$. Můžeme si všimnout, že některé informace vstupující do systému nejsou potřeba k výpočtu výstupních informací. Minimalizace nebo dekompozice systému vede k~odstranění právě těxhto přebytečných informací a kontrola zachování potřebné informace k výpočtu výstupních proměnných slouží zase jako ověření správnosti minimalizace či dekompozice. 

Informační aparát je užitečný hlavně v případě, že chceme danou informaci kvantifikovat čí porovnávat s jinou informací. Toho lze dosáhnout právě díky rozdělení informaci do atomických, jednoduše porovnatelných dvojic. V \cite{jozw02,jozw03} je rozlišeno mezi těmito charakteristikami míry informace:
\begin{itemize}
\item \textit{společná informace} $CI(\phi_1,\phi_2) = IS(\phi_1) \cap IS(\phi_2)$
\item \textit{celková informace} $TI(\phi_1,\phi_2) = IS(\phi_1) \cup IS(\phi_2)$
\item \textit{chybějící informace} $MI(\phi_1,\phi_2) = IS(\phi_1) \setminus IS(\phi_2)$
\item \textit{přidaná informace} $EI(\phi_1,\phi_2) = IS(\phi_2) \setminus IS(\phi_1)$
\item \textit{rozdílná informace} $DI(\phi_1,\phi_2) = MI(\phi_1,\phi_2) \setminus EI(\phi_1,\phi_2)$
\end{itemize}

\noindent Na základě těchto charakteristik jsme pak schopni spočítat tyto vlastnosti:

\begin{itemize}
\item \textit{schodnost informace} $ISIM(\phi_1,\phi_2) = \vert CI(\phi_1,\phi_2)\vert$
\item \textit{rozdílnost informace} $IDIS(\phi_1,\phi_2) = \vert DI(\phi_1,\phi_2)\vert$
\item \textit{ztrátovost informace} $IDEC(\phi_1,\phi_2) = \vert MI(\phi_1,\phi_2)\vert$
\item \textit{zisk informace} $IINC(\phi_1,\phi_2) = \vert EI(\phi_1,\phi_2)\vert$
\item \textit{celkové množství informace} $TIQ(\phi_1,\phi_2) = \vert TI(\phi_1,\phi_2)\vert$
\end{itemize}

Pokud bychom chtěli zkoumat rozklady pomocí relací $\cdot,+,\leq$, zjistíme, že relace $\cdot$ zvyšuje množství informace rozkladů, zatímco $+$ toto množství snižuje. Relace $\leq$ potom udává, že menší rozklad obsahuje více informace než větší rozklad a zároveň že informace většího rozkadu je podmnožinou rozkladu menšího.

Jó\'zwiak pomocí IRMA sice v \cite{jozwchoj01} definuje další nástroje sloužící k popisu procesů uvnitř systému, jako je třeba násobnost informace či pravděpodobnost ztráty informace apod., tyto jsou však užitečné především pro dekompozici logické funkce, která se od dekompozice konečného automatu liší (ačkoliv logickou funkci lze také považovat za jednostavový FSM) a pro porozumění principu dekompozice FSM není jejich znalost a pochopení potřeba.